Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием.
Будем предполагать, что входящий поток заявок на обслуживание есть простейший поток с интенсивностью λ.
Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.
Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Будем считать, что размер очереди ограничен и не может вместить более m заявок, т.е. заявка, заставшая в момент своего прихода в СМО m +1 заявок (m ожидающих в очереди и одну, находящуюся на обслуживании), покидает СМО.
Система уравнений, описывающих процесс в этой системе, имеет решение:
(0‑1)
Знаменатель первого выражения представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем ρ, откуда получаем
При ρ = 1 можно прибегнуть к прямому подсчету
(0‑8)
Среднее число находящихся в системе заявок.
Поскольку среднее число находящихся в системе заявок
(0‑9)
где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, то зная остается найти . Т.к. канал один, то число обслуживаемых заявок может равняться либо 0, либо 1 с вероятностями P 0 и P 1=1- P 0 соответственно, откуда
(0‑10)
и среднее число находящихся в системе заявок равно
(0‑11)
Среднее время ожидания заявки в очереди .
т.е., среднее время ожидания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.
Среднее время пребывания заявки в системе.
Время пребывания заявки в системе складывается из времени ожидания заявки в очереди и времени обслуживания. Если загрузка системы составляет 100%, то =1/μ, в противном случае = q / μ . Отсюда
(0‑13)
Содержание работы .
Подготовка инструментария эксперимента .
Выполняется аналогично в соответствии с общими правилами.
Расчет на аналитической модели .
1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.
2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите исходные данные, которые определяются по правилу:
m=1,2,3
(максимальная длина очереди).
Для каждого значения m необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:
= <порядковый номер в списке группы>
3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.
Эксперимент на имитационной модели .
1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.
2. Для каждой комбинации m , и осуществите запуск модели.
3. Результаты запусков внесите в таблицу.
4. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя P отк , q и А.
Анализ результатов .
1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.
2. Для m=3 постройте на одной диаграмме графики зависимости P отк от на теоретически и экспериментально полученных данных.
Оптимизация параметров СМО .
Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для прибора со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:
- доход от обслуживания одной заявки равным 80 у.е./час,
- стоимость содержания одного прибора равным 1у.е./час.
1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:
Первый столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).
Все клетки второго и третьего столбцов заполняются значениями и.
В клетки столбцов с четвертого по девятый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.
В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).
В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:
- число заявок в единицу времени
N r =A
- суммарный доход в единицу времени
I S = I r *N r
- суммарный расход в единицу времени
E S =E s + E q *(n-1)
- прибыль в единицу времени
P = I S - E S
где
I r - доход от одной заявки ,
E s - расход на эксплуатацию одного прибора ,
E q - расход на эксплуатацию одного места в очереди .
Графики для P отк ,
- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,
- график зависимости прибыли в единицу времени от m .
Контрольные вопросы :
1) Дайте краткое описание одноканальной модели СМО с ограниченной очередью.
2) Какими показателями характеризуется функционирование одноканальной СМО с отказами?
3) Как рассчитывается вероятность p 0 ?
4) Как рассчитываются вероятности p i ?
5) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?
6) Как найти относительную пропускную способность?
7) Чему равна абсолютная пропускная способность?
8) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?
9) Приведите примеры СМО с ограниченной очередью.
Задачи .
1) Порт имеет один грузовой причал для разгрузки судов. Интенсивность потока составляет 0,5 заходов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Если в очереди на разгрузку стоят 3 судна, то приходящее судно направляется для разгрузки на другой причал. Найти показатели эффективности работы причала.
2) В справочную железнодорожного вокзала поступают телефонные запросы с интенсивностью 80 заявок в час. Оператор справочной отвечает на поступивший звонок в среднем 0,7 мин. Если оператор занят, клиенту выдается сообщение "Ждите ответа", запрос становится в очередь, длина которой не превышает 4 запросов. Дайте оценку работы справочной и вариант ее реорганизации
Среди СМО с очередью различают замкнутые и разомкнутые системы.
Замкнутыми называются СМО, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. В качестве примера такой СМО можно привести ремонтные мастерские на предприятиях.
Разомкнутыми называются СМО, в которых поступающий поток требований является неограниченным. Примерами таких систем могут являться магазины, кассы вокзалов.
Рассмотрим одноканальную СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения. Интенсивность входного потока требований равна λ , а интенсивность обслуживания μ . Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО. Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 ,..., S k по числу требований, находящихся в ней:
S 0 - канал свободен;
S 1 -канал занят, очереди нет;
S 2 - канал занят, одно требование стоит в очереди;
S k - канал занят, (к –1) требований стоят в очереди.
Граф состояний СМО имеет вид:
λ λ λ λ λ
μ μ μ μ μ
Если a <1, т.е. среднее число поступающих требований меньше среднего числа обслуженных требований, то предельные вероятности существуют и очередь не может расти бесконечно. Если a ≥1, то очередь растет до бесконечности. Итак, предполагаем что a <1.
Предельные вероятности состояний определяются по формулам: (6.16)
Вероятность того, что канал обслуживания свободен, т.е. система находится в состоянии ; (6.17)
Вероятность того, что канал занят, но очереди нет;
Вероятность того, что канал занят и очереди 1 требование и т.д.
Вероятность того, что СМО находится в состоянии
Среднее число требований в системе определяется по формуле:
Средняя длина очереди L оч :
Среднее время пребывания в системе Т сист :
Среднее время пребывания в очереди Т оч :
Вероятность того, что канал занят
Пример: На АЗС с одной бензоколонкой прибывают на заправку автомобили с интенсивностью 24 машины в час, а среднее время заправки одного автомобиля составляет 2 минуты. Определить показатели эффективности работы АЗС.
Решение: n =1, l =24 автом/час, t =2мин. Находим величину Значения l и t имеют различную временную размерность, поэтому преобразуем одно из них.
l =24 автом/час=24 автом/60мин=0,4автом/мин.
Тогда, a =0,4×2=0,8.
Так как a <1, то очередь на заправку не может возрастать бесконечно и предельные вероятности существуют.
1. Вероятность того, что бензоколонка свободна находим по формуле (6.17): P 0 =1–a= 1–0,8=0,2.
2. Вероятность того, что бензоколонка занята заправкой автомобилей, находим по формуле (6.22): P зан =a =0,8.
3. Среднее число автомобилей, ожидающих заправки, т.е. средняя длина очереди вычисляется по формуле (6.19):
4. Среднее время ожидания заправки вычисляется по формуле (6.21):
5. Среднее число автомобилей, находящихся на АЗС, вычисляется по формуле (6.18):
6. Среднее время пребывания автомобиля на АЗС вычисляется по формуле (6.20):
Из вычислений видно, что эффективность работы АЗС хорошая.
Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Рассмотрим систему с ограниченной очередью . Предположим, что независимо оттого, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N -требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N -1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте и такие заявки теряются.
Обозначим - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:
Здесь - приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна: 
.
С учетом этого можно обозначить
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
относительная пропускная способность системы:
абсолютная пропускная способность:
А =q ∙λ;
среднее число находящихся в системе заявок:
среднее время пребывания заявки в системе:
;
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
W q =W s - 1/μ;
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
L q =λ(1-P N )W q .
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 9.2 . В зону таможенного контроля в пункте пропуска автомобили въезжают по системе электронной очереди. Каждое окно оформления прибытия/убытия представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих оформления, ограниченно и равно 3, то есть (N -1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль в зону таможенного контроля не пропускается, т.е. в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на оформление имеет интенсивность λ =0,85 (автомобиля в час). Время оформления автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час. Требуется определить вероятностные характеристики окна оформления прибытия/убытия пункта пропуска, работающего в стационарном режиме.
Решение.
Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:
.
Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е.
.
Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:
;
P 1 =ρ∙P 0 =0,893∙0,248=0,221;
P 2 =ρ 2 ∙P 0 =0,893 2 ∙0,248=0,198;
P 3 =ρ 3 ∙P 0 =0,893 3 ∙0,248=0,177;
P 4 =ρ 4 ∙P 0 =0,893 4 ∙0,248=0,158.
Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
P отк =Р 4 = ρ 4 ∙P 0 ≈0,158.
Относительная пропускная способность окна оформления:
q =1–P отк =1-0,158=0,842.
Абсолютная пропускная способность окна оформления
А =λ∙q =0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час).
Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):
.
Среднее время пребывания автомобиля в системе:
часа.
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
W q =W s -1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.
Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
L q =λ∙(1-P N)∙W q = 0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.
Работу рассмотренного окна оформления можно считать удовлетворительной, так как не обслуживается в среднем 15,8% случаев (Р отк =0,158).
На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов, процессор, выполняющий машинные команды). Поэтому необходимо рассмотреть одноканальные СМО с очередью более подробно.
Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью l; поток обслуживаний имеет интенсивность m, обратную среднему времени обслуживания заявки t об. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:
L СИСТ – среднее число заявок в систем;
W СИСТ – среднее время пребывания заявки в системе;
L ОЧ – среднее число заявок в очереди;
W ОЧ – среднее время пребывания заявки в очереди;
P ЗАН - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).
Что касается абсолютной пропускной способности A и относительной Q, то вычислять их нет необходимости: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому , по той же причине .
Решение. Состояние системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:
- S 0 – канал свободен;
- S 1 – канал занят (обслуживает заявку), очереди нет;
- S 2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди;
- S k – канал занят, k-1 заявок стоят в очереди.
Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились только для случая конечного числа состояний, но сделаем допущение – воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Тогда число слагаемых в формуле будет бесконечным. Получим выражение для p о :
Ряд в формуле (17) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ряд сходится – это бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем r. При ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний p о , p 1 , …, p k ,… существуют только при ). Тогда:
Найдем среднее число заявок в СМО L СИСТ . Случайная величина Z – число заявок в системе – имеет возможные значения 0, 1, 2, …, k, … с вероятностями p о , p 1 , …, p k ,… Ее математическое ожидание равно:
Применяя формулу Литтла (9), найдем среднее время пребывания заявки в системе:
Найдем среднее число заявок в очереди. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий) среднее число заявок в очереди L ОЧ равно среднему числу заявок в системе L СИСТ минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят P ЗАН . Очевидно, что:
Следовательно, средне число заявок под обслуживанием равно:
По формуле Литтла (9) найдем среднее время пребывания заявки в очереди.
В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.
В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).
Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.
Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л и интенсивностью обслуживания µ.
Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания.
Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 3.5
Количество возможных состояний ее бесконечно:
Канал свободен, очереди нет, ;
Канал занят обслуживанием, очереди нет, ;
- - канал занят, одна заявка в очереди, ;
- - канал занят, заявка в очереди.
Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m>?:
Рис. 3.5
Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле
имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем. Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при. Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при, что определяет установившийся режим работы СМО, с при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.
Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому, следовательно, относительная пропускная способность, соответственно, а абсолютная пропускная способность
Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:
Среднее число заявок в очереди -
Среднее число заявок в системе -
Среднее время пребывания заявки в системе -
Среднее время пребывания заявки с системе -
Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания, то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при.