С каждым отрезком времени [a,a+T ], свяжем случайную величину Х , равную числу требований, поступивших в систему за время Т .
Поток требований называется стационарным , если закон распределения не зависит от начальной точки промежутка а , а зависит только от длины данного промежутка Т .
Например, поток заявок на телефонную станцию в течение суток (Т =24 часа) нельзя считать стационарным, а вот с 13 до 14 часов (Т =60 минут) – можно.
Поток называется без последействия , если предыстория потока не влияет на поступления требований в будущем, т.е. требования не зависят друг от друга.
Поток называется ординарным , если за очень короткий промежуток времени в систему может поступить не более одного требования.
Например, поток в парикмахерскую – ординарный, а в ЗАГС – нет. Но, если в качестве случайной величины Х рассматривать пары заявок, поступающих в ЗАГС, то такой поток будет ординарным (т.е. иногда неординарный поток можно свести к ординарному).
Поток называется простейшим , если он стационарный, без последействия и ординарный.
Основная теорема . Если поток – простейший, то с.в. Х распределена по закону Пуассона, т.е. .
Следствие 1 . Простейший поток также называется пуассоновским.
Следствие 2. M(X)=M(Х[ a, a+T ] )=lT , т.е. за время Т в систему в среднем поступает lT заявок. Следовательно, за одну единицу времени в систему поступает в среднем l заявок. Эта величина и называется интенсивностью входного потока.
При решении задач управления, в том числе и управления войсками, часто возникает ряд однотипных задач:
- оценка пропускной способности направления связи, железнодорожного узла, госпиталя и т. п.;
- оценка эффективности ремонтной базы;
- определение количества частот для радиосети и др.
Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) (рис. 2.9).
Элементами СМО являются:
- входной (входящий) поток требований (заявок) на обслуживание;
- приборы (каналы) обслуживания;
- очередь заявок , ожидающих обслуживания;
- выходной ( выходящий) поток обслуженных заявок;
- поток не обслуженных заявок;
- очередь свободных каналов (для многоканальных СМО).
Входящий поток - это совокупность заявок на обслуживание. Часто заявка отождествляется с ее носителем. Например, поток неисправной радиоаппаратуры, поступающий в мастерскую объединения, представляет собой поток заявок - требований на обслуживание в данной СМО.
Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, - потоками, обладающими свойствами:
- стационарности;
- ординарности;
- ограниченного последействия.
Первые два свойства мы определили ранее. Что касается ограниченного последействия, то оно заключается в том, что интервалы между поступающими заявками являются независимыми случайными величинами.
Рекуррентных потоков много. Каждый закон распределения интервалов порождает свой рекуррентный поток . Рекуррентные потоки иначе называют потоками Пальма.
Поток с полным отсутствием последействия, как уже отмечалось, называется стационарным пуассоновским. У него случайные интервалы между заявками имеют экспоненциальное распределение:
здесь - интенсивность потока.
Название потока - пуассоновский - происходит от того, что для этого потока вероятность появления заявок за интервал определяется законом Пуассона:
Поток такого типа, как отмечалось ранее, называют также простейшим. Именно такой поток предполагают проектировщики при разработке СМО. Вызвано это тремя причинами.
Во-первых , поток этого типа в теории массового обслуживания аналогичен нормальному закону распределения в теории вероятностей в том смысле, что к простейшему потоку приводит предельный переход для потока, являющегося суммой потоков с произвольными характеристиками при бесконечном увеличении слагаемых и уменьшении их интенсивности. То есть сумма произвольных независимых (без преобладания) потоков с интенсивностями является простейшим потоком с интенсивностью
Во-вторых , если обслуживающие каналы (приборы) рассчитаны на простейший поток заявок, то обслуживание других типов потоков (с той же интенсивностью) будет обеспечено с не меньшей эффективностью.
В-третьих , именно такой поток определяет марковский процесс в системе и, следовательно, простоту аналитического анализа системы. При других потоках анализ функционирования СМО сложен.
Часто встречаются системы, у которых поток входных заявок зависит от количества заявок, находящихся в обслуживании. Такие СМО называют замкнутыми (иначе - разомкнутыми ). Например, работа мастерской связи объединения может быть представлена моделью замкнутой СМО. Пусть эта мастерская предназначена для обслуживания радиостанций, которых в объединении . Каждая из них имеет интенсивность отказов . Входной поток отказавшей аппаратуры будет иметь интенсивность :
где - количество радиостанций, уже находящихся в мастерской на ремонте.
Заявки могут иметь разные права на начало обслуживания. В этом случае говорят, что заявки неоднородные . Преимущества одних потоков заявок перед другими задаются шкалой приоритетов.
Важной характеристикой входного потока является коэффициент вариации :
где - математическое ожидание длины интервала;
Среднеквадратическое отклонение случайной величины (длины интервала) .
Для простейшего потока 
Для большинства реальных потоков .
При поток регулярный, детерминированный.
Коэффициент вариации - характеристика, отражающая степень неравномерности поступления заявок.
Каналы (приборы) обслуживания . В СМО могут быть один или несколько обслуживающих приборов (каналов). Согласно с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.
Многоканальные СМО могут состоять из однотипных или разнотипных приборов. Обслуживающими приборами могут быть:
- линии связи;
- мастера ремонтных органов;
- взлетно-посадочные полосы;
- транспортные средства;
- причалы;
- парикмахеры, продавцы и др.
Основная характеристика канала - время обслуживания. Как правило, время обслуживания - величина случайная.
Обычно практики полагают, что время обслуживания имеет экспоненциальный закон распределения:
где - интенсивность обслуживания, ;
Математическое ожидание времени обслуживания.
То есть процесс обслуживания - марковский, а это, как теперь нам известно, дает существенные удобства в аналитическом математическом моделировании.
Кроме экспоненциального встречаются -распределение Эрланга, гиперэкспоненциальное, треугольное и некоторые другие. Это нас не должно смущать, так как показано, что значение критериев эффективности СМО мало зависят от вида закона распределения вероятностей времени обслуживания.
При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, качество обслуживания .
Каналы могут быть абсолютно надежными , то есть не выходить из строя. Вернее, так может быть принято при исследовании. Каналы могут обладать конечной надежностью . В этом случае модель СМО значительно сложнее.
Очередь заявок . В силу случайного характера потоков заявок и обслуживания пришедшая заявка может застать канал (каналы) занятым обслуживанием предыдущей заявки. В этом случае она либо покинет СМО не обслуженной, либо останется в системе, ожидая начало своего обслуживания. В соответствии с этим различают:
- СМО с отказами;
- СМО с ожиданием.
СМО с ожиданием
характеризуются наличием очередей. Очередь
может иметь ограниченную или неограниченную емкость: 
.
Исследователя обычно интересуют такие статистические характеристики, связанные с пребыванием заявок в очереди:
- среднее количество заявок в очереди за интервал исследования;
- среднее время пребывания (ожидания) заявки в очереди. СМО с ограниченной емкостью очереди относят к СМО смешанного типа.
Нередко встречаются СМО, в которых заявки имеют ограниченное время пребывания в очереди независимо от ее емкости. Такие СМО также относят к СМО смешанного типа.
Выходящий поток - это поток обслуженных заявок, покидающих СМО.
Встречаются случаи, когда заявки проходят через несколько СМО: транзитная связь , производственный конвейер и т. п. В этом случае выходящий поток является входящим для следующей СМО. Совокупность последовательно связанных между собой СМО называют многофазными СМО или сетями СМО .
Входящий поток первой СМО, пройдя через последующие СМО, искажается и это затрудняет моделирование . Однако следует иметь в виду, что при простейшем входном потоке и экспоненциальном обслуживании (то есть в марковских системах) выходной поток тоже простейший . Если время обслуживания имеет не экспоненциальное распределение, то выходящий поток не только не простейший, но и не рекуррентный.
Заметим, что интервалы между заявками выходящего потока, это не то же самое, что интервалы обслуживания. Ведь может оказаться, что после окончания очередного обслуживания СМО какое-то время простаивает из-за отсутствия заявок. В этом случае интервал выходящего потока состоит из времени незанятости СМО и интервала обслуживания первой, пришедшей после простоя, заявки.
Определение 6.1. Входной поток называют простейшим, если:
1) вероятность появления того или иного числа заявок на йременном интервале зависит лишь от его длительности и не зависит от его расположения на временной оси (стационарность входного потока), причем заявки поступают поодиночке (ординарность входного потока) и независимо друг от друга (отсутствие последействия во входном потоке);
2) вероятность реализации отдельного случайного события (появление заявки) на временном интервале малой длительности пропорциональна с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с т.е. равна где
3) вероятность реализации двух и более случайных событий (появление двух или более заявок) на временном интервале малой длительности есть величина
Отсутствие последействия в определении простейшего входного потока означает, что для любых непересекающихся временных интервалов число заявок, поступающих на одном из этих интервалов, не зависит от числа заявок, поступающих на других интервалах.
Несмотря на то, что входные и выходные потоки многих реальных систем обслуживания не удовлетворяют полностью определению простейшего потока, понятие простейшего потока широко используют в теории массового обслуживания. Это обстоятельство связано не только с тем, что простейшие потоки достаточно часто встречаются на практике, но и с тем, что сумма неограниченного числа стационарных ординарных потоков с практически любым последействием является простейшим потоком. В связи с этим рассмотрим основные свойства простейшего потока.
Теорема 6.1. Дискретная случайная величина принимающая значения и характеризующая при простейшем входном потоке число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности t, распределена по закону Пуассона с параметром
Рассмотрим скалярный случайный процесс с дискретными состояниями (т.е. для любого фиксированного момента времени его сечение ) является дискретной случайной величиной с множеством возможных значений Пусть его пребывание в состоянии означает наличие в системе обслуживания к заявок.
В соответствии с условиями теоремы и определением простейшего потока случайный процесс , является марковским однородным процессом с дискретными состояниями, причем для любых целых неотрицательных i и j плотность вероятностей перехода системы обслуживания из состояния , в состояние в любой момент времени определяется равенством
Поэтому в данном случае система уравнений Колмогорова имеет следующий вид:
где - вероятность того, что на временном интервале длительности t в изучаемую систему обслуживания поступит к заявок. А так как из определения 6.1 простейшего потока заявок следует, что
то приходим к задачам Коши относительно функции
и функций
Последовательно решая задачи Коши (6.3), (6.4), в случае простейшего входного потока находим вероятность того, что число заявок на временном интервале длительности t будет равно
Соотношения (6.5) означают, что случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром
Следствие 6.1. Если входной поток является простейшим, то среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности t, равно
Чтобы определить среднее число заявок, нужно найти математическое ожидание случайной величины . А так как, согласно (6.5), она распределена по закону Пуассона с параметром то
Согласно доказанному следствию, параметр Л представляет собой среднее число заявок, поступающих в единицу времени. Поэтому его называют интенсивностью, или плотностью простейшего потока.
Следствие 6.2. Если входной поток заявок является простейшим, то дисперсия скалярной случайной величины характеризующая рассеивание числа заявок, поступающих в систему массового обслуживания на временном интервале длительности t, относительно их среднего значения, равно
М Если входной поток простейший, то, согласно (6.5), случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром Следовательно,
Обратим внимание на то, что, согласно (6.6) и (6.7), у случайной величины, распределенной по закону Пуассона, математическое ожидание и дисперсия совпадают.
Пример 6.1. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заказов в час. Считая поток заказов простейшим, определим вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа; б) за 10 минут поступит не более трех заказов.
Так как поток заказов является простейшим и интенсивность то, согласно (6.5), имеем:
В соответствии с определением 6.1 простейшего потока, длительность временного интервала между двумя последовательно поступающими заявками является случайной величиной Для построения математических моделей систем обслуживания необходимо знание функции распределения случайной величины или ее плотности распределения (вероятностей)
Теорема 6.2. В случае простейшего входного потока с интенсивностью А длительность временного интервала между двумя последовательными заявками имеет экспоненциальное распределение с параметром А.
Элементы теории массового обслуживания
§ 1. Введение
Теория массового обслуживания иначе называется Теория очередей. И действительно, теория массового обслуживания в значительной степени посвящена изучению очередей, возникающих в различных системах.
Основными характеристиками систем массового обслуживания являются следующие случайные величины:
среднее время пребывания клиента в очереди;
доля времени, в течение которого система простаивает (из-за отсутствия клиентов).
Функциональные возможности систем массового обслуживания определяются следующими факторами:
распределение моментов распределения клиентов;
распределение продолжительности обслуживания;
конфигурация обслуживающей системы (последовательное, параллельное или параллельно-последовательное обслуживание);
дисциплина в очереди (обслуживание в порядке поступления, обслуживание в обратном порядке, случайный отбор клиентов);
вместимость блока ожидания (ограниченная или неограниченная);
емкость или мощность источника требования (ограниченная и неограниченная);
некоторые другие характеристики системы (возможности клиентов переходить из одной очереди в другую, ненулевая вероятность отказа и др.).
Основными факторами являются первые два.
Любая система массового обслуживания состоит из следующих основных элементов:
входной поток клиентов;
обслуживающий прибор;
дисциплина в очереди.
§ 2 . Входной поток клиентов
Рассмотрим последовательности случайных величин
Предположим, что t o = 0 – начальный момент функционирования системы; t 1 = t o + τ 1 , t 2 = t 1 + τ 2 , …, t k = t k -1 + τ k , …., где τ k – независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром λ.
З
десь
t
1
– момент поступления первого клиента,
τ
1
– промежуток времени между началом
работы системы и моментов прихода
первого клиента, τ
2
– промежуток времени между моментами
прихода первого и второго клиентов, и
т.д.
Последовательность
,
заданная вышеуказанным образом называется
простейшим
(пуассоновским
)
потоком
. А постоянная
называется
параметром простейшего потока.
Свойства простейшего потока
1. Сдвиг потока на величину Т
Пусть имеется
простейший поток
с
параметром λ.
Сдвигая
поток на величину Т
,
получаем поток
, который также будет являться простейшим
потоком с тем же параметром λ. Например,
если T
находится между
и
,
то новый поток выглядит так:
,
….
2. Слияние двух потоков
П
усть
имеются два независимых простейших
потока
с
параметрами
λ
(1) ,
λ
(2)
соответственно. Будем говорить, что
поток образовался в результате
слияния двух потоков, если множество
{t k
}
есть
объединение множеств {t k
(1) },
{t k ( 2) }
и элементы множества {t k
}
упорядочены в порядке возрастания.
П
оток, получившийся в результате
слияния двух независимых простейших
потоков, является
тоже простейшим потоком с параметром
λ
= λ (1)
+ λ (2) ,
где λ (j)
– параметр потока
3. Разделение простейшего потока
Пусть имеется простейший поток с параметром λ,
и
последовательность независимых
случайных величин
, принимающих два значения:
P(ξ i = 1) = p , P(ξ i = 0) = q , p 0, q 0, p + q = 1.
Такие случайные величины называются бернуллиевскими (с параметром p ). Процедура разделения потока {t k } состоит в следующем: число t i отнесем к первому потоку, если ξ i = 1; если же ξ i = 0, то число t i отнесем ко второму потоку. Такую операцию разделения потока на два назовем бернуллиевской (с параметром p ).
Потоки, полученные в результате бернуллиевского разделения простейшего потока, являются независимыми простейшими потоками с параметрами λ (1) = λp, λ (2) = λq соответственно.
Отметим, что доказательства этих свойств простейшего потока можно найти в .
Ч
ерез
X(t)
в дальнейшем будем обозначать число
клиентов в системе в момент t
,
т.е.
Свойства пуассоновских процессов
Приращение пуассоновского процесса однородное .
Обозначим через X ((a ,b ]) = X (b ) – X (a ) приращение процесса, которое может быть интерпретировано как число клиентов, поступающих в систему в промежутке (a ,b ]. Однородность означает выполнение условия:
P(X ((a ,b ]) = k) = P(X ((0,b -a ]) = k) = P(X (b -a ) = k),
т.е. распределение вероятностей числа клиентов, поступающих в систему в промежутке (a ,b ], зависит только от длины этого промежутка.
Приращения пуассоновского процесса независимы .
Рассмотрим промежуток (0, b ] и предположим, что он разбит на непересекающиеся промежутки (0, b 1 ], (b 1 , b 2 ], , (b N -1 , b N ]. Пусть b 0 = 0. Тогда X ((b 0 , b 1 ]), X ((b 1 , b 2 ]), , X ((b N -1 , b N ]) – число клиентов, поступающих в систему в соответствующие периоды времени. Эти величины независимы, т.е.
P(X ((b 0 , b 1 ]) = i 1 , , X ((b N -1 , b N ]) = i N) =
P(X ((b 0 , b 1 ]) = i 1) P(X ((b N-1 , b N ]) = i N).
Доказательства этих свойств можно найти в .
Задачи к § 2.
2.1. Имеются две случайные величины 1 и 2 . Они независимые и имеют показательное распределение с параметрами 1 и 2 соответственно. Введем следующую случайную величину: = min{ 1 , 2 }. Доказать, что эта величина имеет показательное распределение с параметром = 1 + 2 .
2.2. Даны две независимые случайные величины 1 и 2 , имеющие пуассоновское распределение с параметром 1 и 2 соответственно. Пусть случайная величина = 1 + 2 . Доказать, что эта величина имеет распределение Пуассона с параметром = 1 + 2 .
2.3. Пусть - число клиентов в магазинах и имеет распределение Пуассона с параметром . Пусть каждый клиент с вероятностью p делает покупку в этом магазине. Требуется доказать, что число клиентов, сделавших покупку в этом магазине, имеет распределение Пуассона с параметром p .
2.4. Посетители приходят в ресторан в соответствии с пуассоновским потоком со средней частотой 20 посетителей в час. Ресторан открывается в 11.00.
а) вероятность того, что в 11.12 в ресторане окажется 20 посетителей при условии, что в 11.07 в ресторане было 18 посетителей;
б) вероятность того, что новый посетитель прибудет в ресторан в интервале между 11.28 и 11.30, если известно, что предыдущий посетитель прибыл в ресторан в 11.25.
2.5. Продукция берется со склада, вмещающего 80 единиц складируемой продукции, в соответствии с пуассоновским потоком с интенсивностью 5 единиц продукции вдень.
а) вероятность того, что в течении первых двух дней со склада будет взято 10 единиц продукции;
б) вероятность того, что к концу четвертого дня на складе не останется ни одной единицы продукции.
§
3.
Процесс гибели и размножения
Построим процесс гибели и размножения X (t ) «конструктивно».
Рассмотрим две последовательности и. Первая - отвечает за поступление клиентов в систему (размножение), а вторая - за обслуживание клиентов (гибель):
Кроме
того, пусть заданы две независимые
последовательности
независимых случайных величин с
показательным распределением с параметром
=1.
Процесс
X
(t)
строится так. Пусть
,
где
.
Тогда на интервале
процесс X
(t)
сохранит свое значение
,
где
,
.
В
момент t
1
значение
процесса X
(t
)
либо увеличится, либо уменьшится на
единицу в соответствии с тем, какой из
двух моментов
наступит раньше:
Мы
положили, таким образом, значение
процесса X
(t)
в точке t
1
равным
;
тогда эволюция процесса X
(t
)
на интервале
,
где
и
,
подчиняется тому же закону закону: X
(t
)
не меняется на этом интервале в момент
t
2
увеличивается
на единицу, если
,
и уменьшается на единицу в противном
случае.
Если
же
,
то значение процесса X
(t
)
увеличивается на единицу в случайный
момент
.
Построенный
таким образом процесс
,
называется однородным по времени
процессом гибели и размножения; его
распределения полностью определяются
набором параметров, и
начальным распределением X(0):
Удобно использовать следующую диаграмму для представления развития процесса X (t):
Стрелочки
сверху соответствуют динамике процесса
размножения: из i
-го
состояния процесс переходит в (i
+1)-е
состояние с интенсивностью
;
стрелочки снизу соответсвуют динамике
процесса гибели: с интенсивностью
процесс
из i
-го
состояния переходит в (i
-1)-е
состояние.
Набор функций
описывает распределение процесса X (t ); ниже мы приведем систему уравнений, которым удовлетворяют эти функции.
Отметим,
что не всякому набору параметров
отвечает «невырожденный» процесс X
(t
);
дело в том, что если числа
растут очень быстро при
,
то процесс X
(t
)
в конечный момент t
может
«взорваться», т.е. с положительной
вероятностью превысить любой уровень
и возрасти до
.
Так ведут себя, например, популяция
бактерий в благоприятной среде. Аналогично
устроены процессы, описывающие химические
реакции, приводящие к взрыву.
Процессы
X
(t
),
для которых все
,
относятся к так называемым процессам
чистого размножения
.
Процессы, для которых
,
называют процессами
чистой гибели
.
Следующая
лемма дает необходимые и достаточные
условия на параметры
,
которые гарантируют конечность процесса
чистого размножения
с
параметрами
.
Лемма
.
Пусть
процесс
чистого размножения с параметрами
.
Тогда для конечности процесса
необходимо
и достаточно, чтобы расходился ряд
Пусть
X
(t
)
процесс гибели и размножения с теми же
параметрами
процесса
,
а также параметрами
.
Очевидно, что
P(X (t ) ) P(X + (t ) ) .
Поэтому из леммы получаем следствие.
Следствие
.
Если
для произвольного процесса гибели
размножения X(t)
выполнено условие
,
то для любого
справедливо
P(X(t)
)
=
1,
т.е. процесс конечен.
Доказательство леммы можно найти в .
Задачи к § 3
3.1. Рассмотрим процесс гибели и размножения, для которого
Требуется изобразить диаграмму, отвечающую этому процессу.
3.2.
Пусть клиенты, которые хотят получить
справку по телефону, образуют простейший
поток с параметром
.
Пусть каждый разговор длится
-показательное
время. Пусть X
(t
)
– число клиентов в системе в момент t.
Изобразить диаграмму, отвечающую
процессу X
(t
).
3.3. Пусть в условиях задачи 3.2
телефон имеет память на одного клиента: если клиент звонит и телефон занят, но память телефона свободна, то автомат предлагает положить трубку и ждать звонка. Когда телефон освободится, звонок прозвучит;
имеется автоматический коммутатор и два телефона, у каждого телефона свой оператор: если в момент звонка клиента имеется свободный телефон, то коммутатор автоматически адресует клиента на этот телефон;
коммутатор (см п.2)) имеет память на одного клиента;
каждый телефон (см.п.2)) имеет память на одного клиента.
Для всех вышеперечисленных случаев изобразить диаграмму, отвечающему процессу X (t ).
3.4. Установить, являются ли конечными процессы чистого размножения со следующими интенсивностями размножения:
а) k =k + , >0, >0, k = 0, 1, ...
б) 0 = 1, k +1 = (k +1) k , k = 0, 1, ...
в) k = k , k = 0, 1, ... > 0.
§ 4. Дифференциальные уравнения, отвечающие процессу гибели и размножения
Предположим, что X (t ) – процесс гибели и размножения с характеристиками и. Пусть для некоторых конечных чисел A и B имеют место неравенства i A + Bi , i = 0, 1, ...Это условие гарантирует конечность процесса X (t ). При этом мы условимся, что в каждое состояние приходит верхняя стрелочка слева (даже в состояние 0), при этом интенсивность рождения λ может равняться нулю (например, λ –1 = = 0); из каждого состояния выходит нижняя стрелочка влево, и интенсивность гибели μ тоже может равняться нулю (например, λ –1 = 0). Доопределение таким образом диаграммы не меняет суть дела, однако в дальнейших рассуждениях будет полезно. Рассмотрим диаграмму, отвечающую нашему процессу X (t ):
Обозначим, как и ранее, через
P k (t ) = P (Х (t ) = k ), k = 0,1,…,
вероятности того, что в фиксированный момент t число клиентов X (t ) будет равно k.
Теорема 1. Характеристики процесса X (t ), определенное выше, удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений
где k = 0,1,…, и начальным условиям
Нелишне пояснить, что первая строка (при k = 0) системы уравнений (1) имеет вид
Доказательство. Обозначим через P k (t + Δ) = P (X (t + Δ) = k ).
Воспользуемся определением производной функции одной переменной:
.
Рассмотрим такие события:
A 0 (t , Δ) = {на отрезке [t , t +Δ] процесс X (t ) не совершил ни одного скачка};
A 1 (t , Δ) = {на отрезке [t , t +Δ] процесс X (t ) совершил ровно один скачок};
A 2 (t , Δ) = {на отрезке [t , t +Δ] процесс X (t ) совершил два скачка и более}.
Тогда очевидно, что
Обозначим
далее через
;
через
три показательные случайные величины
с параметрами
.
Пусть все эти величины независимы. Тогда
верно
Тогда очевидно, чтостационарном
(установившемся) режиме.
P
k
(t
)
= P
(в
системе в момент t
находится k
клиентов).
Найдите решение системы дифференциальных уравнений, а также стационарные вероятности.
4.2. Для процессов гибели и размножения из задачи 3.3 выписать дифференциальные уравнения, связывающие вероятности P k (t ) = P (в системе в момент t находится k клиентов).
Найти стационарные вероятности.
Основные элементы СМО
Торговый центр представляет собой однофазную многоканальную систему с одной очередью конечной длины. При заполнении очереди заявка получает отказ. Целью решения задачи моделирования является определение оптимального количества приборов обслуживания, чтобы среднее время пребывания заявки в системе не превышало заданное.
Структуру СМО можно представить таким образом:
Системой массового обслуживания называется система, на которую в случайные моменты времени приходят заявки, нуждающиеся в том или ином виде обслуживания. В данном случае, при моделировании торгового центра роль заявок играют покупатели, а роль приборов продавцы.
Любая система включает в себя 4 основные элемента :
1) входной поток
2) очередь и дисциплины обслуживания
3) прибор и канал обслуживания
4) выходной поток
Входной поток
В процессе функционирования, на вход обслуживающего прибора в неизвестные заранее моменты времени поступают заявки, которые обслуживаются в течение некоторого случайного отрезка времени, после чего прибор освобождается и может принять следующую заявку. Если заявка пришла, когда прибор занят, то она получает отказ в обслуживании и встает в очередь. Из-за случайного характера потока заявок в какие-то моменты времени в системе могут возникать большие очереди, а в другие система может работать с недогрузкой или вообще простаивать. Поэтому возникают задачи количественной оценки эффективности таких систем, обеспечивающих минимизацию суммарных затрат, связанных с ожиданием и потерями со стороны средств обслуживания.
Входной поток может быть одномерным и многомерным. Если на вход системы подается несколько разных потоков, то он является многомерным. Любой входной поток представляется последовательностью однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Интервал между двумя событиями называется интервалом поступления заявок.
Если интервал поступления заявок является случайной величиной, т.е. изменяется по случайному закону распределения, то поток называется случайным.
Поток называется простейшим или стационарным Пуассоновским потоком, если он обладает 3 свойствами:
1) стационарность
2) безпоследействие
3) ординарность
Стационарность означает, что все вероятностные характеристики потока не зависят от времени. Безпоследействие означает, что события не зависят от предыстории. Ординарность - все заявки проходят по одиночке.
Очередь и дисциплины ее обслуживания
Под очередью понимают линейную цепочку, выстраивающихся в ряд заявок в том или ином виде обслуживания. В зависимости от наличия очереди, СМО разделяются на системы без очереди и системы с ожиданием.
СМО без очереди - это системы, в которых поступившая заявка получает отказ в случае занятости прибора обслуживания.
СМО с ожиданием бывают ограниченными и неограниченными ожиданием. В системах с неограниченным ожиданием поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. В системах с ограниченным ожиданием на время пребывания заявок в системе накладывается ряд ограничений, касающихся времени пребывания заявок в очереди, времени пребывания заявок в системе и т.д.
Для регулирования и координации работы очереди используются дисциплины:
1) дисциплина заполнения очереди
2) дисциплина выбора заявок из очереди
К дисциплинам заполнения очереди относятся:
1) естественная форма заполнения
2) кольцевая форма заполнения
3) поисковая форма
4) приоритетная форма заполнения, со сдвигом других заявок
Дисциплины выбора заявок из очереди включают 3 типа:
1) первым пришел - первым обслужен
2) последним пришел - первым обслужен
3) выбор заявок по приоритету